Summen faktorisieren
Tipp 1
Wenn du vergessen hast, was ein Polynom oder Binom ist, dann schau im Kapitel "Binomische Formeln"
nach. In dieser Lernumgebung betrachten wir zusätzlich Trinome. Ein Trinom ist eine Summe mit
drei Summanden. Beispiele: 5a+3b-c oder x²+2xy+y²
Hinweis 2
Binome lassen sich miteinander multiplizieren. Im Kapitel "Binomische Formeln" werden drei
wichtige Sonderfälle aufgezeigt:
I |
(a+b)² = (a+b)(a+b) = a²+2ab+b² |
II |
(a-b)² = (a-b)(a-b) = a²-2ab+b² |
III |
(a+b)(a-b) = a²-b² |
Kannst du sie anwenden?
Hinweis 3
Auch unterschiedliche Binome lassen sich miteinander multiplizieren.
Zwei solcher Produkte werden hier am Rechteckmodell veranschaulicht:
(a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd
(a-x)(b-y) = ab-ay-bx+xy
Tipp 4
Faktorisieren heisst Summen oder Differenzen als Produkt darstellen.
Merke dir die verschiedenen Möglichkeiten zu Faktorisieren:
- Ausklammern
9x²+3x = 3x(3x+1)
- Mehrmaliges Ausklammern
10x²+15xy+8xz+12yz = 5x(2x+3y)+4z(2x+3y) = (2x+3y)(5x+4z)
- Faktorisieren mit binomischen Formeln
81p²-144pq+64q² = (9p-8q)²
- Trinome aufspalten
x²+7x+12 = (x+a)(x+b) = (x+4)(x+3)
Tipp 5
Betrachten wir nochmals das Beispiel von vorher:
x²+7x+12 = (x+a)(x+b) = (x+4)(x+3)
Für das Aufspalten der Trinome merkst du dir:
Der Koeffizient des linearen Gliedes ist die Summe von a und b.
Das konstante Glied ist das Produkt von a und b.
Beispiele:
a) |
m²+3m-18 = (m+a)(m+b) = (m-3)(m+6) |
-3+6 = 3 |
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-3·6 = -18 |
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b) |
p²-p-12 = p²-1p-12 = (p+a)(p+b) = (p-4)(p+3) |
-4+3 = -1 |
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-4·3 = -12 |