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Komplexe Zahlen

Will man die Wurzel einer negativen Zahl bestimmen, so bekommt man ein Problem. Wir wissen, dass für jede reelle Zahl x gilt

x· x ≥ 0. 

Es kann also keine reelle Zahl existieren, deren Quadrat −1 ist. Nehmen wir nun an, wir hätten eine solche imaginäre Zahl i, für die gilt

i2 = −1.     (1)

Nennen wir sie die imaginäre Einheit. Wir wissen, dass sie von jeder reellen Zahl verschieden ist, wollen aber, dass alle Rechenregeln auch weiter gültig sind. D.h. wir wollen mit i rechnen, wie wir mit der Variablen x rechnen. Der einzige Unterschied ist, dass wir nichts für i einsetzen dürfen. Dafür haben wir die Kürzungsregel (1). Wir rechnen etwa

     
(3+2i)· (2−i)= 3· 2 + 3·(−i) + 2i· 2 + 2i·(−i)         
 = 6 + i −2i2         
 = 6 + i +2 = 8+i.          

Wir können diese neuen Zahlen, die wir erhalten, immer auf die Form

z = x+iy     (2)

mit reellen Zahlen x und y und der neuen, d.h. nicht reellen Zahl i bringen.

Die Menge aller solcher Zahlen

ℂ = { x + iy | xy ∈ ℝ } 

nennen wir die Menge der komplexen Zahlen.