BANEKO GmbH

Gauß’sche Zahlenebene

Bisher konnten wir unsere Zahlmengen, die natürlichen, ganzen, rationalen oder reellen Zahlen immer auf einem Zahlenstrahl linear ihrer Größe entsprechend anordnen. Die schrittweise Erweiterungen des Zahlensystems diente dazu ,,Lücken” in diesem Zahlenstrahl auszufüllen. Mit den komplexen Zahlen gelingt dies nicht mehr. Die imaginäre Einheit lässt sich nicht mehr so in den Zahlenstrahl einordnen, dass unser gewohnter Ordnungsbegriff mit den arithmetischen Operationen verträglich bleibt. Wir haben eine neue Dimension erhalten.

Zur graphischen Darstellung komplexer Zahlen benutzt man nun die (x,y)-Ebene, wobei man die Zahl z=x+iy mit dem Punkt (x,y) identifiziert. Diese Interpretation der Ebene als komplexe Zahlen nennt man die Gauß’sche Zahlenebene.

Diese Idee ist sehr nützlich. Man kann dies dadurch rechtfertigen, dass i ja sicher von jeder reellen Zahl verschieden ist. Man kann also die Menge der rein imaginären Zahlen i· x für die x ∈ ℝ, als eigenen Zahlenstrahl ansehen, der sich nur im Nullpunkt mit der reellen Achse schneidet. Die weiteren Zahlen liegen dann entprechend ihrer reellen und imaginären Koordinaten in der komplexen Ebene. Dabei sind geometrische Überlegungen oft sehr nützlich, um das "Verhalten" der komplexen Zahlen zu verstehen. Besonders bei den Polarkoordinaten hilft eine geometrische Sicht auf die Zusammenhänge.