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Polarkoordinaten.

Wir sind es gewohnt, Punkte in der Ebene durch ihre karthesischen Koordinaten zu beschreiben. Es gibt aber auch eine andere sehr effektive Form, mit der man jeden Punkt in der Ebene eindeutig bestimmen kann. Wir messen vom Nullpunkt1 die Richtung, also den Winkel zur positiven x-Achse bzw. zur positiven rellen Achse, wobei wir den Winkel in positivem Drehsinn (gegen den Uhrzeiger) messen2. Danach messen wir den Abstand zum Nullpunkt.

Den Nullpunkt selbst stellen wir durch die 0 dar. Er hat keine Richtung.3 Ist r > 0 der Abstand des Punktes vom Nullpunkt und ϕ mit 0≤ϕ<2π sein Winkel zur positiven x-Achse im Bogenmaß4, so schreiben wir die Koordinaten

(r,ϕ) 

Diese Darstellung der Ebene nennt man Polarkoordinaten. Sie sind besonders bei komplexen Zahlen sehr nützlich.

Haben wir eine komplexe Zahlen z = x + iy ≠ 0 in unserer Ebene, so schreiben wir

z = |z| (
x
|z|
i 
y
|z|
) = |z| (u + iv).

Wegen u2+v2=1 liegt dann der Punkt (u,v) auf dem Einheitskreis der Gaußschen Zahlenebene. Es gibt also eine – bis auf Vielfache von 2π – eindeutig bestimme Zahl ϕ, so dass

u = cosϕ   und    v = sinϕ 

ist. Damit haben wir die Richtung und Abstand unserer komplexen Zahl bereits berechnet (fast). In der Darstellung

z = r(cosϕ + isinϕ) 

mit Polarkoordinaten (r,ϕ), nennen wir ϕ das Argument von z und r den Betrag von z.

Berechnung von ϕ.

Ganz haben wir das Argument ϕ noch nicht berechnet. Wir haben die Richtung durch einen Punkt auf dem Einheitskreis eindeutig angegeben, aber noch nicht den Winkel. Wir können unter Beachtung der Vorzeichen von x folgende Rechnung durchführen.

Falls x > 0 ist, setzen wir

ϕ = arctan
y
x

Falls x < 0 ist, setzen wir

ϕ = π + arctan
y
x

Falls x = 0 ist, so liegt der Punkt auf der y-Achse. Ist y > 0, so ist

ϕ = 
π
2

und für y < 0 gilt

ϕ = 
2

Eulerdarstellung:

Für z=x +iy mit x,y∈ℝ definiert man die komplexe Exponentialfunktion durch

ez = ex+iy = ex eiy := ex(cos y + i sin y). 

Es gilt also

eiy = cos y + isin y,   y∈ℝ.     (1)

Nun können wir die Darstellung in Polarkoordinaten noch weiter abkürzen und schreiben einfach

z = reiϕ

Die komplexe Exponentialfunktion wird ihrer Aufgabe gerecht. Für ihre Ableitung gilt

(eix)′ = (cos x + i sin x)′ = −sin x + i cos xi(i sin x + cos x) = i eix.

Wir haben also eine Erweiterung der e-Funktion auf komplexe Zahlen gefunden, bei der sie weiter ihre eigene Ableitung ist.

Für das Umrechnen der Polarkoordinaten in karthesische Koordinaten und umgekehrt verwenden wir die Beziehung (1). Es ist hilfreich, wenn man daran denkt, dass die komplexe e-Funktion eiϕ nur eine abkürzende Schreibweise für cosϕ + isinϕ ist.

Multiplikation in Polarkoordinaten.

Aus der Eulerdarstellung und den Rechenregeln für Potenzen sieht man sofort, dass sich die Multiplikation erheblich vereinfacht. Für z1 = r1 eiφ1, z2 = r2 eiφ2 gilt

z1z2  = r1 eiφ1 r2 eiφ2  = r1r2 ei12).
Bei der Multiplikation werden die Beträge multipliziert und die Argumente addiert.

1
Wir verwenden den Nullpunkt der kartesischen Koordinaten
2
Man muss sich irgendwie auf eine Richtung einigen, sonst wird die Orientierung zufällig. Der positive Drehsinn ergibt sich dadurch, dass man mit der rechten Hand die Drehachse so umfasst, dass der Daumen in die Richtung der positiven Achse zeigt, dann zeigen die Finger in positive Drehrichtung. In der Ebene lässt man den Daumen nach oben aus der Ebene zeigen. Der Drehsinn ist hauptsächlich für technische Anwendungen wichtig. Will man etwa eine Schraube oder Mutter öffnen bzw. schließen, so lässt man den Daumen der rechten Hand in die Richtung zeigen, in die man die Schraube bewegen will, nun zeigen die Finger in die Richtung, in die man sie drehen muss.
3
Man kann auch jede Richtung für den Nullpunkt erlauben, aber dann ist er nicht mehr eindeutig.
4
Das Bogenmaß x ergibt sich aus dem Winkel α durch
x = 
α
360
· 2π,  bzw.  α = 
x
· 360.
Haben wir einen Kreis mit Radius r>0, so entspricht dem Winkel α eindeutig eine Bogenlänge l auf dem durch den Winkel abgeteilten Kreisbogen. Das Bogenmaß erhält man nun als x = l/r.