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Beispiele konvergenter Reihen

Geometrische Reihe

Die wichtigste aller Reihen ist die geometrische Reihe. Sie ist gegeben durch

k=0
qk.

Es gilt

k=0
qk = 
1
1−q
  für  |q| < 1. 

Für |q| ≥ 1 ist sie divergent.

Harmonische Reihe

Die Reihe

 
n
 
1
na
 

ist konvergent für a > 1 und divergent für a ≤ 1.

Für a=1 erhält man die harmonische Reihe

 
n
 
1
n

sie ist divergent.

e und e-Funktion

Die Reihe

 
n
 
1
n!
 

konvergiert gegen die Euler’sche Zahl e.

Für beliebiges x ∈ ℝ erhält man die konvergente Reihe

 
n
 
xn
n!
 = ex

Ihr Grenzwert ist der Funktionswert der e-Funktion.


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