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Majoranten- und Minorantenkriterium für Reihen

Gegeben eine Reihe ∑ak und eine konvergente Reihe ∑bk, so dass ab einem bestimmten Index k0 gilt:

|ak| ≤ bk  für  k ≥ k0

Dann ist auch die Reihe ∑ak konvergent.

Ist umgekehrt die Reihe ∑bk divergent und es gilt ab einem bestimmten Index k0

ak ≥ |bk|  für  k ≥ k0

so ist auch ∑ak divergent.

Im ersten Fall nennen wir ∑bk eine konvergente Majorante von ∑ak, im zweiten Fall eine divergente Minorante.

Beispiel

k=1
1
k2k
 

Es ist 1/k2k < 1/2k, also ist die konvergente geometrische Reihe ∑1/2k eine konvergente Majorante. Die Reihe konvergiert.

Beispiel

n=1
1
n2+1
 

Es ist

1
n2+1
 < 
1
n2

also ist die konvergente Reihe ∑1/n2 eine Majorante, die Reihe konvergiert.

Beispiel

n=1
n
n2−1
 

Es ist

n
n2 − 1
 > 
n
n2
 = 
1
n

also ist die harmonische Reihe ∑1/n eine divergente Minorante. Die Reihe divergiert.


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