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Leibniz-Kriterium

Eine Reihe heißt alternierend, wenn sie von der Form

 
n
 (−1)n · an 

für an≥ 0, n∈ℕ ist. Für diese Folgen benutzt man das Konvergenzkriterium von Leibniz.

  • Eine alternierende Reihe ∑n (−1)n · an deren Reihenglieder an (als Folge betrachtet) eine monoton fallende Nullfolge bilden, ist konvergent.

D.h., es muss gelten

an+1 < an     und     
 
lim
n→∞
 an = 0. 

Beispiel

n=1
(−1)n 
n
n2+1
 

Wir haben eine alternierende Reihe. Es ist klar, dass

 
lim
n→∞
 
n
n2+1
 = 0 

ist, da der Exponent von n im Nenner größer ist als im Zähler. Wir müssen noch die Monotonie prüfen. Es ist also an+1 < an zu zeigen. Einsetzen liefert

     
n+1
(n+1)2 + 1
n
n2 + 1
    
 |·(n2+1)·((n+1)2+1)       
(n+1)(n2 + 1)n((n+1)2+1)         
n3 + n2 + n + 1n3 + 2n2 +2n         
1n2 + n          

und man sieht, dass die Ungleichung erfüllt ist. Also konvergiert die Reihe nach dem Leibniz-Kriterium.


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