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Beispiel 2

In diesem Beispiel soll die bekannte Ableitungsformel

(xn)′ = n xn−1     (3)

für n ≥ 1 gezeigt werden. Für den Induktionsschritt verwenden wir dabei (ohne Beweis) die Produktregel

(u v)′ = u′ v + u v′     (4)

Induktionsanfang

Für den Startwert n₀ = 1 müssen wir die Aussage

x′ = 1

zeigen. Diese ist zwar bekannt, aber das trifft ja auf die allgemeine Ableitungsformel auch zu. Deshalb wollen wir die Aussage durch einsetzen in den Differenzenquotienten beweisen. Wir erhalten für f(x) = x:

f(x+h) −f(x) h

=

x+h − x h

=

h h

= 1

Also ist der Differenzenquotient konstant, und somit stimmt er mit seinem Grenzwert für h→ 0 überein. Es ist also x′ = 1.

Induktionsannahme

Nun nehmen wir an, dass im weiteren die Aussage

(xn)′ = n xn−1

für ein beliebiges, aber fest gewähltes n gültig sei.

Induktionsschritt

Nun müssen wir die Aussage

(xn+1)′ = (n+1) xn

beweisen. Dafür benutzen wir die Produktregel, um die linke Seite auf die Induktionsannahme zurückzuführen. Es gilt

xn+1 = x xn

und somit

(xn+1)′ = (x xn)′ = x′ xn + x (xn)′

Nun benutzen wir die aus dem Induktionsanfang bekannte Formel x′ = 1 und die Induktionsannahme und erhalten

(xn+1)′ = x′ xn + x (xn)′ = 1 xn + x n xn−1 = (n+1) xn

Damit ist der Induktionsschritt gezeigt, und die Ableitungsformel durch vollständige Induktion bewiesen.

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