Charakteristische Größen komplexer Zahlen.

Für die komplexe Zahl z = x+iy mit x,y∈ℝ definiert man

ℜ z := x      Realteil                 ℑ z := y      Imaginärteil (reell!)                 z := x − iy     Konjugierte oder konjugiert Komplexe                 ⎪ ⎪ z ⎪ ⎪ :=  √ zz  =  √ x2 + y2       Betrag

Der Realteil und Imaginärteil sind also die Koordinaten in der Gauß’schen Ebene. Die Konjugierte hat genau im Imaginärteil das Vorzeichen getauscht. Sie ist die an der rellen Achse gespiegelte Zahl. Also ist eine relle Zahl ihre eigene Konjugierte. Das interessante an der Konjugierten ist die folgende Beziehung

(x+iy)(x−iy) = x2 − (iy)2 = x2 + y2,

dass man eine positive reelle Zahl bekommt, wenn man eine komplexe Zahl mit ihrer Konjugierten multipliziert. Obendrein ist diese Zahl auch noch das Quadrat des (Euklidischen) Abstandes dieses Punktes vom Nullpunkt in der Gaußschen Ebene. Wir können also in sinnvoller Weise mit der Konjugierten den Betrag angeben.

Beispiel

z = 2 + 3i.

Dann ist

ℜ z = 2, ℑ z = 3, z = 2−3i,

⎪ ⎪

z

⎪ ⎪

=

√

22 + 32

=

√

13

.

Rechenregeln für die Konjugation.

Sei wieder z = x + iy, x,y∈ℝ, dann gilt:

z = z                   zz =  ⎪ ⎪ z ⎪ ⎪ 2 = x2 + y2                   z1 + z2 = z1 + z2                   z1z2 = z1 z2                     ℜ z =  1 2 (z + z)                     (1)   ℑ z = − i 2 (z − z)                     (2)   1 z =  z zz  =  z ⎪ ⎪ z ⎪ ⎪ 2                     (3)

Man beachte die Regeln (1) und (2), die es uns erlauben durch die Überlagerung von komplexen Zahlen mit ihren Konjugierten ein rein relles Ergebnis zu bekommen.

Die Regel (3) ermöglicht es, einen komplexen Bruch stets in einen Bruch mit reellem Nenner zu verwandeln.

Rechenregeln für den Betrag.

⎪ ⎪ z ⎪ ⎪ =  √ zz                   ⎪ ⎪ z1z2 ⎪ ⎪ =  ⎪ ⎪ z1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ z2 ⎪ ⎪                   ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ z1 z2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ =  ⎪ ⎪ z1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ z2 ⎪ ⎪                   ⎪ ⎪ z1+z2 ⎪ ⎪ ≤  ⎪ ⎪ z1 ⎪ ⎪ + ⎪ ⎪ z2 ⎪ ⎪   (Dreiecksungleichung)

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This document was translated from L^AT_EX by H^EV^EA.

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