Beispiele konvergenter Reihen

Geometrische Reihe

Die wichtigste aller Reihen ist die geometrische Reihe. Sie ist gegeben durch

∞ ∑ k=0

qk.

Es gilt

∞ ∑ k=0

qk =

1 1−q

für  |q| < 1.

Für |q| ≥ 1 ist sie divergent.

Harmonische Reihe

Die Reihe

∑ n

1 na

ist konvergent für a > 1 und divergent für a ≤ 1.

Für a=1 erhält man die harmonische Reihe

∑ n

1 n

,

sie ist divergent.

e und e-Funktion

Die Reihe

∑ n

1 n!

konvergiert gegen die Euler’sche Zahl e.

Für beliebiges x ∈ ℝ erhält man die konvergente Reihe

∑ n

xn n!

= ex.

Ihr Grenzwert ist der Funktionswert der e-Funktion.

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