Majoranten- und Minorantenkriterium für Reihen

Gegeben eine Reihe ∑a_k und eine konvergente Reihe ∑b_k, so dass ab einem bestimmten Index k₀ gilt:

|ak| ≤ bk  für  k ≥ k0.

Dann ist auch die Reihe ∑a_k konvergent.

Ist umgekehrt die Reihe ∑b_k divergent und es gilt ab einem bestimmten Index k₀

ak ≥ |bk|  für  k ≥ k0,

so ist auch ∑a_k divergent.

Im ersten Fall nennen wir ∑b_k eine konvergente Majorante von ∑a_k, im zweiten Fall eine divergente Minorante.

Beispiel

∞ ∑ k=1

1 k2k

Es ist 1/k2^k < 1/2^k, also ist die konvergente geometrische Reihe ∑1/2^k eine konvergente Majorante. Die Reihe konvergiert.

Beispiel

∞ ∑ n=1

1 n2+1

Es ist

1 n2+1

<

1 n2

,

also ist die konvergente Reihe ∑1/n² eine Majorante, die Reihe konvergiert.

Beispiel

∞ ∑ n=1

n n2−1

Es ist

n n2 − 1

>

n n2

=

1 n

,

also ist die harmonische Reihe ∑1/n eine divergente Minorante. Die Reihe divergiert.

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