Leibniz-Kriterium

Eine Reihe heißt alternierend, wenn sie von der Form

∑ n	(−1)n · an

für a_n≥ 0, n∈ℕ ist. Für diese Folgen benutzt man das Konvergenzkriterium von Leibniz.

• Eine alternierende Reihe ∑_n (−1)ⁿ · a_n deren Reihenglieder a_n (als Folge betrachtet) eine monoton fallende Nullfolge bilden, ist konvergent.

D.h., es muss gelten

an+1 < an     und

lim n→∞

an = 0.

Beispiel

∞ ∑ n=1

(−1)n

n n2+1

Wir haben eine alternierende Reihe. Es ist klar, dass

lim n→∞

n n2+1

= 0

ist, da der Exponent von n im Nenner größer ist als im Zähler. Wir müssen noch die Monotonie prüfen. Es ist also a_n+1 < a_n zu zeigen. Einsetzen liefert

n+1 (n+1)2 + 1 <  n n2 + 1        |·(n2+1)·((n+1)2+1)               (n+1)(n2 + 1) < n((n+1)2+1)                   n3 + n2 + n + 1 < n3 + 2n2 +2n                   1 < n2 + n

und man sieht, dass die Ungleichung erfüllt ist. Also konvergiert die Reihe nach dem Leibniz-Kriterium.

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