Stetigkeit

Eine Funktion f ist an der Stelle x₀ stetig, wenn

lim x→ x0

f(x) = f(x0)

gilt.

Tipp

Kombinationen stetiger Funktionen sind stetig. Fast alle "üblichen" Funktionen sind stetig. Unter Kombination versteht man die üblichen arithmetischen Operationen und das Hintereinanderausführen von Funktionen. Beispiele sind:

f(x) = sin(x2)

ist stetig, da der Sinus und alle Polynome stetig sind. Das Hintereinanderausführen liefert wieder eine stetige Funktion.

g(x) = x2 (exp(x) + tan(x))

ist stetig. exp und tan sind stetig, also auch ihre Summe. Multipliziert man diese mit einem (stetigen) Polynom, erhält man wieder eine stetige Funktion.

Tipp

Stetigkeit soll man bei den meisten Aufgaben für den ganzen Definitionsbereich zeigen. Interessant ist dies aber meistens nur an den Stellen, an denen die Funktion zusammengesetzt ist. Für den Rest des Definitionsbereiches kann man fast immer die folgende Standardformulierung benutzen.

Als Komposition stetiger Funktionen ist die Funktion f für x∈… stetig.

An den Nahtstellen bildet man den Grenzwert "von oben" bzw. "von unten", indem man den dort jeweils gültigen Funktionsterm für den x-Wert der Nahtstelle auswertet.

Beispiel

f(x) =

⎧ ⎨ ⎩ x2 + 1, für x ≥ 0 exp(−x), für x < 0

Die Nahtstelle liegt bei x = 0. Für x ≠ 0 tritt der allgemeine Fall ein:

Als Komposition stetiger Funktionen ist f für x ≠ 0 stetig.

Nähert man sich der Nahtstelle x = 0 von oben an, gilt also x>0, so ist f(x) = x² + 1. Das ist eine stetige Funktion, und es gilt

lim x→ 0

x2 + 1 = 0 + 1 = 1,

also ist

lim x↘ 0

f(x) = 1.

Nähert man sich von unten an, ist also x<0, so gilt f(x) = exp(−x). Dies ist ebenfalls eine stetige Funktion, und es gilt

lim x→ 0

exp(−x) = exp(0) = 1,

also ist

lim x↗ 0

f(x) = 1.

Damit existiert der Grenzwert

lim x→ 0

f(x) = 1

Weiter gilt f(0) = 1, also ist f auch stetig in 0.

Zusammen ist f also auf ganz ℝ stetig.

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